Números Amigos

Os divisores de 220 (diferentes de 220) são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110.

Adicionando estes divisores obtém-se 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.

Os divisores de 284 (diferentes de 284) são: 1, 2, 4, 71 e 142.

Adicionando estes divisores obtém-se: 1+2+4+71+142=220.

Diz-se que os números 220 e 284 são amigos. Existem mais pares de números amigos?
Será que 17296 tem um amigo?

Um número pode ser amigo de si próprio:
Os divisores de 6 (diferentes de 6) são: 1,2,3.
Adicionando estes divisores obtém-se: 1+2+3=6.

Estes números são ditos "perfeitos".
28 e 496 são perfeitos.

Euclides descobriu 300 anos antes de Cristo uma fórmula que fornece muitos números perfeitos.
Os pares de números amigos são raros, consequentemente dificeis de encontrar. O iraniano Mohammed Baqir Yazdi descobriu que 9363584 e 9437056 eram amigos, no século XVI.
Não consta que tivesse máquina de calcular.

APM...APM...

Ainda estou meio incrédulo...Diz Rita Bastos, Presidente da Associação de Professores de Matemática,que "os exames prejudicam o ensino da Matemática".

Cara Rita Bastos, no meu caso, agradeço muito o facto de ter evoluído num sistema de ensino que me submeteu, desde tenra idade, a uma infinidade de exames de Matemática.
O tempo de estudo que antecede um exame é a altura ideal para se fazer o balanço do que se aprendeu e do que não se percebeu tão bem, de colmatar lacunas, consolidar conhecimentos, treinar capacidades de cálculo e de raciocínio, dialogar com os colegas com objectivos comuns, questionar os professores de maneira mais aprofundada, interagir mais com eles...enfim, aprende-se muitas vezes mais em três semanas de revisões do que num período lectivo.
A posteriori, depois dos resultados saírem, um aluno pode identificar os seus pontos fracos, perceber onde deve de futuro insistir mais, como pode melhorar o seu método de estudo,...etc.

Por outro lado, como se pode, sem avaliações, identificar o que vai mal e o que vai bem no ensino? Como pode alguém que nunca foi avaliado melhorar-se a si próprio? Como se pode saber quem merece um diploma e quem se deve esforçar um pouco mais antes de o obter?

Será que a APM também é contra os exames médicos? Será que a angústia do exame e da espera pelos resultados pode piorar o estado de saúde do doente? Será que um bom médico precisa mesmo de exames para diagnosticar os seus doentes?

Esta declaração da presidente da APM é das mais irresponsáveis que tenho visto, mesmo comparando com as habituais declarações funestas da APM e da Sociedade Portuguesa de "Ciências da Educação", que está para a APM como o IRA está para o Sinn Feinn.
Pergunto-me se estas instituições estão propositadamente a destruir o Ensino ou se é mesmo só simplicidade de espírito e subserviência a (algum) poder político, que quanto mais puder melhorar as "estatísticas", aprovando alunos sem os avaliar, melhor.

APELO AOS PROFESSORES

A esmagadora maioria dos professores são sérios e dedicados. Procuram ensinar e não desinformar os seus alunos. Preocupam-se genuinamente com eles e com o seu futuro. Porque não correm com estas pessoas da Direcção da APM? Nas próximas eleições, façam uma lista independente, digam não aos "pedagogos" e aos "cientistas do ensino". Defendam o ensino e os alunos.

Nota: Não sou nem Professor do Ensino Básico e Secundário nem sócio da APM.

Na boca de toda a gente

Exame de Matemática, 9º

Exames do 9º ano de Matemática: 73% de reprovações.
Parece que da grande aposta do "Plano Nacional da Matemática" não se vão retirar grandes dividendos políticos. Ainda bem: os problemas do ensino têm de ser levados mais a sério e com menos demagogia. Como pôde o Executivo pensar e propagandear que um plano começado há meia dúzia de meses afectaria já neste ano lectivo os resultados dos alunos e a qualidade do ensino em geral?

Ironicamente, no que diz respeito à Matemática, foi no 9º ano que os resultados foram piores, e foi no 9º ano que o governo mais actuou.

Tudo isto é na realidade um pouco absurdo: a variação dos resultados de um ano para o outro depende bem mais de factores quase aleatórios (como por exemplo fluctuações ligeiras na dificuldade dos enunciados) do que propriamente de algumas medidas políticas tomadas há uns meses. Os resultados dessas medidas, boas ou más, só são visiveis em escalas de tempo não inferiores à década.
E está mais do que na hora de lançar as bases para um ensino melhor. Como já referi em post anterior, as provas de Matemática em Portugal são de dificuldade extremamente baixa quando comparadas com as de outros países comunitários. O Governo tem de ter a humildade de perceber que só daqui a muitos anos é que eventualmente se verão alguns frutos, isto se agora se tomarem as boas decisões e se adoptarem as estratégias correctas, claro.

E para escolher as boas estratégias, há que consultar e dialogar com quem melhor conhece o problema e o terreno: a Associação dos Professores de Matemática foi corrida do conselho de acompanhamento do Plano Nacional da Matemática e a Sociedade Portuguesa de Matemática nem sequer foi convidada a integrar a dita comissão.
Assim vamos longe...

Eu, a 25 de Abril de 1974

Obrigado pai, por me teres levado à rua neste dia.

Noah takes a photo of himself every day for 6 years.

São 6 minutos. Mas vale mesmo a pena.

Quando a investigação se torna estupidez

Serão entregues em breve os prémios Ig Nobel, 2007.

Deixo aqui uma lista de descobertas premiadas no passado com este famoso alter ego do prémio Nobel, atribuido pela Improbable Research. Pode parecer gozo, mas são mesmo trabalhos publicados em revistas cientificas com "peer review".

Física (Basile Audoly e Sebastien Neukirch da Université Pierre et Marie Curie, em Paris)
A razão do esparguete cru ter tendência para se partir em mais do que dois pedaços.

Biologia ( Ivan R. Schwab, da University of California Davis, Philip R. A. May da Universidade da Califórnia)
Explicada a razão dos pica-paus não terem dor de cabeça.

Medicina (Francis M. Fesmire da Universidade de Tennessee), pelo seu brilhante artigo:
"Parar crises de Soluços com Massagens rectais Digitais"

Matemática (K.P. Sreekumar e G. Nirmalan da Universidade de Kerala, India)
"Estimativa da área total de um elefante indiano."

Medicina: (F. Kanda, E. Yagi, M. Fukuda, K. Nakajima, T. Ohta, e O. Nakata do Shisedo Research Center em Yokohama), pelo seu estudo pioneiro:
"Elucidação dos Componentes Químicos Reponsáveis pelo Chulé do Pé".

Pergunto ao vento que passa
notícias do meu país
e o vento cala a desgraça
o vento nada me diz.

Pergunto aos rios que levam
tanto sonho à flor das águas
e os rios não me sossegam
levam sonhos deixam mágoas.

Levam sonhos deixam mágoas
ai rios do meu país
minha pátria à flor das águas
para onde vais?Ninguém diz.

Se o verde trevo desfolhas
pede notícias e diz
ao trevo de quatro folhas
que morro por meu país.

Pergunto à gente que passa
por que vai de olhos no chão.
Silêncio -- é tudo o que tem
quem vive na servidão.

Vi florir os verdes ramos
direitos e ao céu voltados.
E a quem gosta de ter amos
vi sempre os ombros curvados.

E o vento não me diz nada
ninguém diz nada de novo.
Vi minha pátria pregada
nos braços em cruz do povo.

Vi minha pátria na margem
dos rios que vão pró mar
como quem ama a viagem
mas tem sempre de ficar.

Vi navios a partir
(minha pátria à flor das águas)
vi minha pátria florir
(verdes folhas verdes mágoas).

Há quem te queira ignorada
e fale pátria em teu nome.
Eu vi-te crucificada
nos braços negros da fome.

E o vento não me diz nada
só o silêncio persiste.
Vi minha pátria parada
à beira de um rio triste.

Ninguém diz nada de novo
se notícias vou pedindo
nas mãos vazias do povo
vi minha pátria florindo.

E a noite cresce por dentro
dos homens do meu país.
Peço notícias ao vento
e o vento nada me diz.

Quatro folhas tem o trevo
liberdade quatro sílabas.
Não sabem ler é verdade
aqueles pra quem eu escrevo.

Mas há sempre uma candeia
dentro da própria desgraça
há sempre alguém que semeia
canções no vento que passa.

Mesmo na noite mais triste
em tempo de servidão
há sempre alguém que resiste
há sempre alguém que diz não.

(A propósito disto.)

Posições Desesperadas

There are no hopeless positions.
There are only inferior positions that can be saved.

There are no drawn positions.
There are only equal ones in which you can play for a win.

But at the same time, don't forget that there is no such thing as a won position in which it is impossible to lose.

Grigory Sanakoev

O debate de hoje foi realmente esclarecedor: pelo menos fiquei a saber que há uma empresa municipal chamada Gebalis que patrocina concertos do Toy. Isto sim é informação relevante. Mais não seja por isso devia ser extinta. O Nuno da Câmara Pereira esteve muito bem, aquele homem ainda há de devolver o trono ao nosso D. Duarte, ouçam o que eu vos digo. Fiquei com a nítida impressão que quando chegou nem sabia que a Gebalis existia apesar de lá para o fim também já defender a sua extinção.

Enfim, pela qualidade geral do debate, fiquei mesmo convencido que qualquer um pode ser candidato que má figura ao pé dos outros não faz. Estou inclusive a pensar candidatar-me daqui a dois anos.

Tutorial: como voltar da Costa

Inicio com este post a série Tutorial: como...

São essencialmente segredos bem guardados, mas nada é demais para os leitores deste embrião de blog que é A Última Dança !
Hoje vou ensinar-vos a evitar as filas ao fim de um dia de praia, no trajecto Costa da Caparica-Lisboa. Nada que qualquer bom habitante da margem sul não saiba, mas que aparentemente é desconhecido dos praistas lisboetas, que só conhecem a via rápida.

Hoje por exemplo, saí da Costa pelas 17h40 para ir levar uma pessoa à Estação do Oriente. Apesar do trânsito infernal, às 18h05 já estava estacionado. O tempo normal seria mais de uma hora, só para chegar à Praça de Espanha. Como fiz eu?

1. Ao sair da Costa, apanhar a via rápida e sair na indicação "Estação".
(Por vezes a fila na via rápida já atinge esta saída, comprometendo-a. Nesse caso pode-se sair antes, mas isso será para um tutorial mais avançado.)
2. Chega-se a uma rotunda enorme. Sair na primeira e seguir sempre em frente. Passa-se pela Estação do Pragal, e de seguida pelo Hospital Garcia da Horta.
3. Chega-se a nova rotunda. Seguir em frente e atravessar a famosa ponte do Pragal.
4. Nova rotunda: sair na primeira, por uma estrada muito íngreme abaixo.
5. Nova rotunda: sair à esquerda e ao fundo da rua à direita.
6. Pronto, estamos na avenida principal de Almada. Agora é só seguir em frente e chegamos direitinho ao tabuleiro da ponte.
7. Se tudo correu bem, até aqui não houve transito. Claro que agora estamos um pouco antes das portagens e já não dá para evitar. Mesmo assim existem alguns truques:
8. Se tiver Via Verde não a utilize, porque isso é o que toda a gente faz, entupindo essas faixas. O ideal é obter um cartão Via Card, que é de graça e dá direito a portagens sem ninguém. Se não tiver cartão Via Card, siga à mesma pela fila número 5 (reservada Via Card) e à última da hora vire para a Caixa de Pagamento 3 (não é infracção porque o traço não é contínuo). Esta caixa costuma estar vazia porque ninguém sabe que ela lá está.

E pronto, isto completa o nosso primeiro Tutorial. Tenha em conta que nada disto funciona para ir trabalhar de manhã, porque as pessoas que se encontram na estrada a essa hora engarrafam este atalho também...

Próximos Tutoriais:
-Como estacionar no Bairro Alto sábado à noite (ou em qualquer outro dia e hora)
-Como eliminar da sua vida tudo o que tenha a ver com a Microsoft

Proibido

Hoje comprei o livro "Proibido!" de António Costa Santos. Tendo em conta que eu era muito pequeno quando se deu o 25 de Abril, muitas destas proibições do antigo regime passaram-me completamente ao lado. Volvidos trinta e tal anos, rectifico essa situação com este post. Para além das óbvias ligadas à censura politico-cultural, eis as proibições mais absurdas que de todo desconhecia:

1. Proibido usar isqueiro na rua, sem a devida licença de porte de isqueiro (?! Parece que era para proteger a industria dos fósforos!)
2. Proibido (a uma mulher) andar sózinha na rua à noite. Era também negada à mulher casada o porte de um passaporte individual (?!)
3. Proibidos ajuntamentos de mais ou três pessoas na via pública (esta também não percebo bem...será que não havia televisões nas montrar a transmitir jogos de futebol? :) )
4. Proibido casar com uma enfermeira ou com uma hospedeira de bordo (??!!)
5. Proibido casar com uma professora sem autorização expressa do Estado (?!)
6. Proibido beijar na boca em público (note que se tratam aqui de simples "chochos", beijos mais "repenicados" então, nem falar!)

E por falar nisso a portaria 69035 da CML determinava à policia "uma permanente vigilância sobre as pessoas que procurem frondosas vegetações para a prática de actos que atentem contra a moral e os bons costumes". O artigo 48º determina a aplicação das seguintes coimas (ipsis verbis):
1. Mão na mão: 2$50
2. Mão naquilo: 15$00
3. Aquilo na mão: 30$00 (não percebo a diferença, mas está bem...)
4. Aquilo naquilo: 50$00
5. Aquilo atrás daquilo: 100$00
6. Com a língua naquilo: 150$00, preso e fotografado.

7 maravilhas

Isto das 7 Maravilhas de Portugal e do Mundo pareceu-me uma coisinha um pouco disparatada, ao estilo dos "10 maiores portugueses de sempre". Eu, a votar, teria sido no túnel do Eurostar: afinal trata-se de atravessar o mar por baixo dele e ainda por cima de comboio.

A nível nacional é que já não sei, só me ocorre o túnel do Marquês...

Truelo II

Ora aí está um verdadeiro truelo.

Truelo

Aqui vai uma história antiga, que me foi lembrada há pouco tempo por um amigo.

Eu, o Clint e o Doc Hollyday estamos os três apaixonados pela Scarlett O'Hara.

Vamos resolver a coisa num truelo, um duelo a três.


Eu sou o mais fracote, acerto um tiro em cada três.
O Clint acerta dois tiros em cada três.
O Doc Hollyday acerta três tiros em cada três disparados.

Para repor alguma justiça no truelo, sou o primeiro a disparar, seguido do Clint e do Doc. Finda esta ronda, recomeça outra na mesma ordem entre os que ainda estiverem de pé.

Qual a minha melhor estrtégia?

The chess-board is the world;
the pieces are the phenomena
of the universe;
the rules of the game are what we call
the laws of Nature.

The player on the other side
is hidden from us.
We know that his play is always fair,
and patient.

But also we know, to our cost,
that he never overlooks a mistake,
or makes the smallest allowance for ignorance.

Thomas Henry Huxley

Michelle, ma belle

Ando a escrever uns posts muito do contra. Este serve para trazer alguma serenidade a este blog.

Exame de Matemática, 12º

A nossa Ministra da Educação congratulou-se com os bons resultados nos exames nacionais de Matemática do 12º ano.

Para que todos entendam o que é que o Ministério entende por "exame final de Matemática do secundário" é só dar uma vista de olhos aqui.

E para que tenham algo com que comparar este "exame", aqui fica a versão francesa do dito..
Nem é preciso ser muito versado em francês para se perceber o que está a ser pedido: demonstrações e raciocínios que se estendem por 5 ou 6 alíneas, geometria não trivial, um cheirinho de cálculo integral, (até pedem a demonstração da fórmula de integração por partes)...etc.
Enfim, é mesmo um exame de Matemática.

Este país está cada vez mais demente: produzimos exames triviais e depois congratulamo-nos todos com os resultados e pensamos no "choque tecnológico". Mas afinal quem é que fabrica TGVs, aviões, satélites, carrinhos de fórmula 1 e centrais nucleares com tecnologia (quase) 100% nacional? Nós ou os franceses?
Tem a ver com factores económicos? Certamente.
Então e com a formação científica? Não?

Hoje sou pescador.
Fiz-me ao mar, rumo ao sul.
Bote de prata em fundo de azul.

A terra firme não é para mim
terra seca e estéril,
terra farta e sem vida.

Pois a minha fé é esta briza,
e o sal e a maresia.
O meu credo a onda que aperta,
um velho leme e a rota incerta.

Hoje sou pescador.
Fiz-me ao mar, rumo ao norte.
Nau de ouro entregue à Sorte.


(imagem: Noel Thomas, fishing boat)

Exame de Matemática, para que te quero

Não há nada na matemática que seja lazer, matemática é algo de intrinsecamente irritante. Gostar genuinamente gosto do meu Jameson sem gelo depois de jantar e dos Xutos e Pontapés. De matemática não.
No ensino, qualquer estratégia que passe por dar gosto pela matemática está condenada ao fracasso. Matemática não é coisa de que se goste. A matemática é o espelho da racionalidade, e nós não somos seres racionais. Para nos convencermos disso basta ligarmos a televisão em qualquer canal às dez da noite, ir passear a um centro comercial ao fim de semana ou ainda observar as longas filas de trânsito ao fim da tarde.

Só quem gosta de ser constantemente colocado à prova, e não se importa de perder a face de vez em quando é que pode aprender matemática. Mas ninguém gosta de ser posto à prova. Nem por si, nem pelos outros. E muito menos de perder a face. Isto piora com a idade.
Tal como pintar, cantar ou desenhar, a matemática não é para as massas. Não se deve (tentar) ensinar matemática às massas. Qualquer tentativa de ensinar matemática às massas está condenada ao fracasso, ou então deixa de ser matemática. Aliás, nem sequer é útil fazê-lo.

A matemática é algo de delicado e fino. Imagine-se que agora se tentava ensinar todos os alunos do ensino básico a tocar violino. Já daqui imagino, nas escolas, a cacofonia e o barulho horrendo por esses corredores fora. É o que se passa hoje com a matemática, só que o drama é mais discreto porque matemática não faz barulho.

Ou se calhar até faz. Pelo menos toda a gente acha que tem uma palavra a dizer. E toda a gente a dizer uma palavra faz muito barulho, torna-se irrritante. Eu por mim quando ouço falar de « matemática » na televisão tendo a mudar de canal.